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[SPSS] 크루스칼 왈리스 검정 (비모수 일원 배치 분산 분석: Kruskal-Wallis Test)

셋 이상의 분포에서 평균이 다른지 확인하는 방법은 ANOVA (ANalysis Of VAriance)였다. 

2022.11.30 - [모평균 검정/SPSS] - [SPSS] 일원 배치 분산 분석 (One-way ANOVA, ANalysis Of VAriance)

2022.11.30 - [모평균 검정/SPSS] - [SPSS] 등분산 가정이 성립하지 않는 일원 배치 분산 분석 (Welch's ANOVA, Brown-Forsythe ANOVA)

그런데, 여기에는 각각의 분포가 정규성을 따른다는 중요한 가정이 필요하다. 하지만 정규성을 따르지 않는다면 어떻게 해야 할까? 그럴 때 사용하는 것이 크루스칼-왈리스 검정(Kruskal-Wallis Test)이다.  이번 포스팅에서는 크루스칼 왈리스 검정과 그 사후 분석 (post hoc analysis)까지 알아보고자 한다.

*실습용 데이터는 아래 링크를 클릭하면 다운로드할 수 있습니다.

2022.08.04 - [공지사항 및 소개] - 분석용 데이터 (update 22.12.01)

데이터를 불러오도록 한다. 불러오는 방법은 다음 링크를 확인하도록 한다.

2022.08.04 - [통계 프로그램 사용 방법/SPSS] - [SPSS] 데이터 불러오기 및 저장하기

목표:  흡연 상태(SMOK)에 따라 니코틴 중독 점수 (NICOT_ADDICT) 중앙값이 모집단 수준에서 서로 다르다고 말할 수 있는가?

 만약 NICOT_ADDICT의 분포가 정규성을 따른다면, ANOVA로 이를 확인할 수 있을 것이다. 따라서 정규성 여부를 먼저 확인해보자.

1) 정규성

 정규성 검정은 다음 링크에서 내용을 확인할 수 있다.

2022.08.11 - [기술 통계/SPSS] - [SPSS] 정규성 검정

2022.08.18 - [기술 통계/SPSS] - [SPSS] 고급 Q-Q Plot - Van der Waerden, Rankit, Tukey, Blom

1) 분석(A) > 기술통계량(E) > 데이터 탐색 (E)

2) 분석하고자 하는 변수인 NICOT_ADDICT을 "종속변수"에 넣고, 흡연 상태에 따라 분석할 것이므로 SMOK을 "요인(F)"에 넣는다. 그 뒤 "도표(T)..."를 선택한다.

3) "히스토그램(H)", "검정과 함께 정규성 도표(O)" 체크박스를 클릭하고 "계속(C)"를 누르고, 돌아가 "확인"을 누른다.

결과

 1) Q-Q Plot

2) 히스토그램

3) Shapiro-Wilk 검정

 N수가 2,000개 미만이므로 Shapiro-Wilk 통계량의 p-value를 보면 0.05 이하이며, Q-Q Plot은 대부분의 데이터가 선상에 있지 않고, 히스토그램에서도 정규성을 따르지 않는 것처럼 보인다. 따라서 일원 배치 분산 분석 (ANOVA)을 시행할 수 없고, 크루스칼 왈리스 분석 (Kruskal-Wallis Test)을 시행해야 한다.

지금까지 많은 분석을 할 때 분산이 같은지 여부 (등분산성)을 중요하게 여겼었다. 하지만 크루스칼 왈리스 분석은 분산이 달라도 어느 정도 괜찮다. 물론 분산에 아주 큰 차이가 나면 위험해지지만, 어느 정도는 robust 하므로 웬만하면 그냥 써도 괜찮다.

크루스칼 왈리스 (Kruskal Wallis) 검정

1) 분석(A) > 비모수검정(N) > 독립표본(I)

2) 이때 나오는 창의 첫 페이지인 "목적"은 건들지 않는다.

3) "필드"를 누르고 분석하고자 하는 NICOT_ADDICT를 "검정 필드(T)"로 넘긴다. 흡연 상태에 따라 검정할 것이므로 SMOK을 "집단(G)"로 옮긴다. 

4) "사용자 정의에 의한 검정(C)"를 누르고 "Kruskal-Wallis 일원배치 분산분석(k표본)(W)"을 체크한다.

결과

p-value가 0.000 (<0.001)으로 0.05보다 작으므로 귀무가설을 기각하고 대립 가설을 채택한다. 그렇다면 여기에서 귀무가설 및 대립 가설은 무엇이었는가?

귀무가설: $H_0=$ 세 집단의 모집단 수준에서 중앙값은 "모두" 동일하다.

대립가설:$H_1=$ 세 집단의 모집단 수준에서 중앙값이 모두 동일한 것은 아니다.

우리는 대립 가설을 채택해야 하므로 "세 집단의 모집단 수준에서 중앙값이 모두 동일한 것은 아니다."라고 결론 내릴 것이다.

사후 분석

그런데, 세 집단의 중앙값이 모두 동일하지 않다는 말은 세 집단 중 두 개씩 골라 비교했을 때, 적어도 한 쌍에서는 차이가 난다는 것이다. 따라서 세 집단 중 두 개씩 골라 비교를 해보아야 하며, 이를 사후 분석 (post hoc analysis)이라고 한다. 세 집단에서 두 개씩 고르므로 가능한 경우의 수 $_3C_2=3$이다. 

(1) 비흡연자 vs 과거 흡연자

(2) 비흡연자 vs 현재 흡연자

(3) 과거 흡연자 vs 현재 흡연자

비모수 검정인 Kruskal Wallis 검정의 사후 분석으로 쓰이는 방법은 다음 네 가지가 있다.

1) Pairwise Wilcoxon Test

2) Conover Test

3) Dunn Test

4) Nemenyi Test

이중 SPSS에서 기본으로 제공하는 사후검정 방법은 Dunn Test이다. 이때 p value 보정 방법은 Bonferroni를 사용하고 있다. 

그리고, Kruskal-Wallis에서 유의한 차이를 보이는 경우 SPSS는 사후분석을 자동으로 실행한다.

위 표에서 봐야 하는 값은 마지막 열인 "조정된 유의확률"이다.

모든 p-value가 0.05보다 작으므로 다음과 같이 결론 내릴 수 있다.

비흡연자 (0)와 과거 흡연자 (1)  사이에는 NICOT_ADDICT 중앙값에 차이가 있다.

비흡연자 (0)와 현재 흡연자 (2) 사이에는 NICOT_ADDICT 중앙값에 차이가 있다.

과거 흡연자 (1)와 현재 흡연자 (2)) 사이에는 NICOT_ADDICT 중앙값에 차이가 있다.

하지만 위 결과에서 볼 수 있듯이, 영가설 (귀무가설)은 "표본1 및 표본2에서 분포가 같다"이다. 만약 분포가 똑같이 생겼는데, 중앙값만 다른 경우라면, 즉 평행이동을 한 경우라면 귀무가설의 기각은 '중앙값에 차이가 난다'를 의미한다. 

그런데 만약 중앙값이 갖더라도 분포가 매우 심하게 다르다면 어떻게 될까? 영가설에 반하므로 p-value가 매우 낮게 나오게 된다. 따라서 서로 다른 분포의 모양을 고려할 수 있는 방법이 존재해야 하는데, SPSS에서는 시행을 할 수가 없다. 이는 R로 비슷하게나마 구현할 수 있는데, 다음 링크를 확인하기 바란다. 2022.12.01 - [모평균 검정/R] - [R] 크루스칼 왈리스 검정 (비모수 일원 배치 분산 분석: Kruskal-Wallis Test) - kruskal.test(), pairwise.wilcox.test(), ConoverTest(), DunnTest(), NemenyiTest()

어떤 사후 분석을 쓸 것인가

 이 논의에 대해 정답이 따로 있는 것은 아니다. 적절한 방법을 사용하여 논문에 제시하면 되고, 어떤 것이 정답이라고 콕 집어 이야기할 수는 없다. 다만, 사후 분석 방법이 여러 가지가 있다는 것은 '사후 분석 방법에 따라 산출되는 결과가 달라질 수 있다.'는 것을 의미하고, 심지어는 '어떤 사후 분석 방법을 채택하냐에 따라 유의성 여부가 달라질 수도 있다.'는 것을 의미한다. 심지어, Kruskal-Wallis test에서는 유의한 결과가 나왔는데, 사후 분석을 해보니 유의한 차이를 보이는 경우가 없을 수도 있다. 따라서 어떤 사후 분석 방법 결과에 따른 결과인지 유의하여 해석할 필요가 있다.

왜 굳이 Kruskal Wallis test를 쓰는 것인가?

이 시점에서 이런 의문이 들 수 있다.

"각각의 그룹별로 평균을 비교하면 되지, 굳이 왜 Kruskal Wallis test라는 방법까지 사용하는 것인가?"

 아주 논리적인 의문점이다. 하지만, 반드시 Kruskal-Wallis test를 사용해야 한다. 그 이유는 다음과 같다. 본 사례는 흡연 상태에 따른 조합 가능한 경우의 수가 3인데, 각각 유의성의 기준을 α=0.05α=0.05로 잡아보자. 이때 세 번의 비교에서 모두 귀무가설이 학문적인 진실인데(평균에 차이가 없다.), 세 번 모두 귀무가설을 선택할 확률은 $\left(1-0.05 \right)^3 \approx 0.86 $이다. (이해가 어려우면 p-value에 대한 설명 글을 읽고 오길 바란다. 2022.09.05 - [통계 이론] - [이론] p-value에 관한 고찰)

 그런데, Kruskal-Wallis test의 귀무가설은 "모든 집단의 중앙값이 같다."이다. 따라서 모든 집단의 중앙값이 같은 것이 학문적 진실일 때, 적어도 한 번이라도 대립 가설을 선택하게 될 확률은 $1-0.86=0.14$ 가 된다. 즉, 유의성의 기준이 올라가게 되어, 덜 보수적인 결정을 내리게 되고, 다시 말하면 대립 가설을 잘 선택하는 쪽으로 편향되게 된다. 학문적으로는 '다중 검정 (multiple testing)을 시행하면 1종 오류가 발생할 확률이 증가하게 된다.'라고 표현한다.

 따라서, 각각을 비교해보는 것이 아니라 한꺼번에 비교하는 Kruskal-Wallis test를 시행해야 함이 마땅하다. 

여기에서 한 번 더 의문이 들 수 있다.

 "사후 분석을 할 때에는 1종 오류가 발생하지 않는가?"

그렇다. 1종 오류가 발생할 확률이 있으므로, p-value의 기준을 더 엄격하게 (0.05보다 더 작게) 잡아야 한다. P-value를 보정하는 방법은 일반적으로는 Bonferroni, holm, hochberg, hommel, BH, BY, FDR 등이 있고, Kruskal-Wallis test의 사후 분석 방법으로는 특별히  Pairwise Wilcoxon Test, Conover Test, Dunn Test, Nemenyi Test을 사용하고 있다. 이 중에서 SPSS는 Dunn Test를 이용하고 있다. R에서는 다른 방법을 사용할 수 있으니 궁금한 독자는 다음 링크를 확인하길 바란다. 2022.12.01 - [모평균 검정/R] - [R] 크루스칼 왈리스 검정 (비모수 일원 배치 분산 분석: Kruskal-Wallis Test) - kruskal.test(), pairwise.wilcox.test(), ConoverTest(), DunnTest(), NemenyiTest()

[SPSS] 크루스칼 왈리스 검정 (비모수 일원 배치 분산 분석: Kruskal-Wallis Test) 정복 완료!

[SPSS] 윌콕슨 순위 합 검정, 맨 휘트니 U 검정 (비모수 독립 표본 중앙값 검정: Wilcoxon rank sum test, Mann-Whitney U test)

 두 분포의 평균이 다른지 확인하는 방법을 이전에는 독립 표본 T검정 (Two-Sample T test)로 시행했었다. (2022.11.12 - [모평균 검정/R] - [R] 독립 표본 T검정 (Independent samples T-test) - t.test(), var.test(), levene.test()) 하지만 여기에는 중요한 가정이 필요한데, 각각의 분포가 정규성을 따르는 것이다. 하지만 분포가 정규성을 따르지 않는다면 어떻게 해야 할까? 그럴 때 사용하는 것이 Wilcoxon rank sum test (윌콕슨 순위 합 검정)이다.  윌콕슨 순위 합 검정 (Wilcoxon rank sum test)는 이후에 Mann과 Whitney가 개정을 하였고 그때 U 통계량을 사용하므로 맨 휘트니 U 검정(Mann-Whitney U test)이라고도 한다. 또한 세 사람의 이름을 붙여 Wilcoxon-Mann-Whitney Test (WMW test)라고도 한다. 

 이번 포스팅에서는 윌콕슨 순위 합 검정 (Wilcoxon rank sum test)에 대해 알아볼 것이다.

*실습용 데이터는 아래 링크를 클릭하면 다운로드할 수 있습니다.

2022.08.04 - [공지사항 및 소개] - 분석용 데이터 (update 22.12.01)

데이터를 불러오도록 한다. 불러오는 방법은 다음 링크를 확인하도록 한다.

2022.08.04 - [통계 프로그램 사용 방법/SPSS] - [SPSS] 데이터 불러오기 및 저장하기

목표:  음주 여부에 따라 Gamma-glutamyl transferase(GGT)의 중앙값이 모집단 수준에서 서로 다르다고 말할 수 있는가?

 만약 GGT의 분포가 정규성을 따른다면, 독립 표본 T 검정으로 이를 확인할 수 있을 것이다. 따라서 정규성 여부를 먼저 확인해보자.

 정규성 검정

 정규성 검정은 다음 링크에서 내용을 확인할 수 있다.

2022.08.11 - [기술 통계/SPSS] - [SPSS] 정규성 검정

2022.08.18 - [기술 통계/SPSS] - [SPSS] 고급 Q-Q Plot - Van der Waerden, Rankit, Tukey, Blom

1) 분석(A) > 기술통계량(E) > 데이터 탐색 (E)

2) 분석하고자 하는 변수인 GGT을 "종속변수"에 넣고, 음주 여부에 따라 분석할 것이므로 ALCOHOL을 "요인(F)"에 넣는다. 그 뒤 "도표(T)..."를 선택한다.

3) "히스토그램(H)", "검정과 함께 정규성 도표(O)" 체크박스를 클릭하고 "계속(C)"를 누르고, 돌아가 "확인"을 누른다.

결과

 1) Q-Q Plot

2) 히스토그램

3) Shapiro-Wilk 검정

 N수가 2,000개 미만이므로 Shapiro-Wilk 통계량의 p-value를 보면 0.05 이하이며, Q-Q Plot은 대부분의 데이터가 선상에 있지 않고, 히스토그램에서도 정규성을 따르지 않는 것처럼 보인다. 따라서 독립 표본 T검정 (Two-sample T-test)를 시행할 수 없고, 맨 휘트니 U 검정 (Mann-Whitney U test)을 시행해야 한다.

맨 휘트니 U 검정 (Mann-Whitney U test)

1) 분석(A) > 비모수검정(N) > 독립표본(I)

2) 이때 나오는 창의 첫 페이지인 "목적"은 건들지 않는다.

3) "필드"를 누르고 분석하고자 하는 GGT를 "검정 필드(T)"로 넘긴다. 음주 여부에 따라 검정할 것이므로 ALCOHOL을 "집단(G)"로 옮긴다. 

4) "사용자 정의에 의한 검정(C)"를 누르고 "Mann-Whitney의 U(2표본)(H)"을 체크한다.

결과

유의확률이 0.000으로 0.001보다 작다. 따라서 유의한 결과임을 알 수 있다. 따라서 귀무가설을 기각하고 대립 가설을 택해야 한다. 여기에서 귀무가설과 대립 가설은 무엇일까?

귀무가설$H_0=$ 분포는 동일하다.

대립가설$H_1=$ 두 분포는 평균만 다를 뿐, 분포는 똑같이 생겼다.

즉, 대립 가설이 의미하는 것은 두 분포는 평행이동 관계에 있다는 것이다. 그래야 대립가설을 선택하더라도 중앙값이 달라진 것인지 확인할 수 있다. 

이 말은, 맨 휘트니 U 검정에도 필요한 가정이 있다는 말이다. 두 분포는 동일하게 생겼어야 한다.

조금 어렵게 이야기하면, 두 분포의 first moment는 다르지만, 그보다 고차원의 central moment는 같아야 한다.

만약 생김새가 다르면 맨 휘트니 U 검정을 사용하면 안 되고, Robuts rank order test 등을 시행해야 한다. (물론 현실에서는 이런 내용을 무시한 채 '정규성을 따르지 않으니 맨 휘트니 U 검정을 사용한다'는 연구자가 대다수다.) 이에 관한 내용은 다음 링크를 확인하길 바란다.(이는 SPSS나 SAS에서 현재로서는 불가능하고, R에서만 구현 가능하다.2022.12.01 - [모평균 검정/R] - [R] 로버스트 순위 순서 검정 (비모수 독립 표본 중앙값 검정: Robust rank order test, Flinger-Pollicello test) - rrod.test())

 그런데 위 히스토그램을 보면 음주자와 비음주자의 GGT분포는 right skewed 된 분포로 어느 정도 비슷하게 생겼다. 모든 central moment를 조사하는 것은 현실적으로 힘들지만, 2nd cental moment인 분산의 차이를 검정해보면 다음과 같음을 알 수 있다. 등분산성 검정 방법은 다음 링크를 확인하길 바란다. 2022.11.30 - [모평균 검정/SPSS] - [SPSS] 독립 표본 T검정 (Independent samples T-test)

등분산성 검정

1) 분석(A) > 평균 비교 (M) > 독립표본 T 검정

2) 분석하고자 하는 변수 GGT를 "검정 변수(T)"쪽으로 옮기고, 아래 "집단변수(G)"에 ALCOHOL을 넣는다. 그리고 "집단 정의(D)"을 누른다.

3) ALCOHOL은 비음주자를 0으로, 음주자를 1로 정의하고 있다. 즉 우리는 0과 1을 비교할 것이므로 집단 1과 집단 2에 각각 0과 1을 넣는다.

결과

Levene의 등분산 검정 결과 유의확률 0.609로 둘의 분산은 다르다고 할 수는 없다. 

따라서 두 분포의 모양이 같다고 생각하면 본 맨 휘트니 U 검정으로 음주자와 비음주자의 GGT값에는 차이가 있다고 결론 내릴 수 있다.

분포가 다르다면?

만약, 분포가 다르게 생기면 어떤 결과가 초래되길래 그렇게 강조하는 걸까?

다음 링크에서는 데이터의 NP3_raw와 NP4_raw의 분포를 확인하고, 분산, 중앙값을 확인해보았는데, 분산, 중앙값이 같은데도, 모양이 달라 맨 휘트니 U 검정에서 유의미한 차이가 난다고 결론을 내리고 있다.2022.12.01 - [모평균 검정/R] - [R] 윌콕슨 순위 합 검정, 맨 휘트니 U 검정 (비모수 독립 표본 중앙값 검정: Wilcoxon rank sum test, Mann-Whitney U test) - wilcox.test()

만약 맨 휘트니 U 검정이 "중앙값이 같은지 확인하는 검정"이라고만 알고 있다면 중앙값이 완전히 같은 이런 경우에도 "중앙값에 차이가 있다."라고 결론 내릴 것이다. 하지만 이 경우 귀무가설을 기각하고 "두 분포는 다르게 생겼다."라고 결론 내려야 옳은 결론에 다다른다. 그러므로 맨 휘트니 U 검정의 가정인 "모양이 똑같이 생겼다."를 반드시 준수하길 바란다.

[SPSS] 윌콕슨 순위 합 검정, 맨 휘트니 U 검정 (비모수 독립 표본 중앙값 검정: Wilcoxon rank sum test, Mann-Whitney U test) 정복 완료!

작성일: 2022.12.03.

최종 수정일: 2022.12.06.

이용 프로그램: IBM SPSS v26

운영체제: Windows 10

 어떤 분포의 평균이 특정 값인지 확인하는 방법을 이전에는 일표본 T검정 (One-Sample T test)로 시행했었다. (2022.11.29 - [모평균 검정/SPSS] - [SPSS] 일표본 T검정 (One-sample T-test)) 하지만 여기에는 중요한 가정이 필요한데, 분포가 정규성을 따르는 것이다. 하지만 분포가 정규성을 따르지 않는다면 어떻게 해야 할까? 그럴 때 사용하는 것이 One-Sample Wilcoxon Signed Rank Test (일표본 윌콕슨 부호 순위 검정)이다. 

 이번 포스팅에서는 One-Sample Wilcoxon Signed Rank Test (일표본 윌콕슨 부호 순위 검정)에 대해서 알아볼 것이다.

*실습용 데이터는 아래 링크를 클릭하면 다운로드할 수 있습니다.

2022.08.04 - [공지사항 및 소개] - 분석용 데이터 (update 22.12.01)

데이터를 불러오도록 한다. 불러오는 방법은 다음 링크를 확인하도록 한다.

2022.08.04 - [통계 프로그램 사용 방법/SPSS] - [SPSS] 데이터 불러오기 및 저장하기

목표: 모집단에서 신경심리검사 1 원점수의 중앙값이 55이라고 할 수 있는가?

 이번 포스팅의 목적은 1000명의 데이터를 가지고, 이 1000명이 기원한 모집단에서 신경심리검사 1 원점수의 중앙값이 55이라고 할 수 있는지 판단하는 것이다.

전제조건 (정규성)

 만약 정규성을 따른다면 t-test를 하면 되므로 정규성 여부를 파악하도록 한다. 정규성 검정에 관한 분석 내용은 다음 글에서 살펴볼 수 있다. 

2022.08.11 - [기술 통계/SPSS] - [SPSS] 정규성 검정

2022.08.18 - [기술 통계/SPSS] - [SPSS] 고급 Q-Q Plot - Van der Waerden, Rankit, Tukey, Blom

정규성 검정

1) 분석(A) > 기술통계량(E) > 데이터 탐색 (E)

2) 분석하고자 하는 변수인 NP1_raw을 "종속변수"에 넣어준다. 그 뒤 "도표(T)..."를 선택한다.

3) "히스토그램(H)", "검정과 함께 정규성 도표(O)" 체크박스를 클릭하고 "계속(C)"를 누르고, 돌아가 "확인"을 누른다.

결과

N수가 2,000개 미만이므로 Shapiro-Wilk 통계량의 p-value를 보면 0.05 이하이며, Q-Q Plot은 대부분의 데이터가 선상에 있지 않고, 히스토그램에서도 정규성을 따르지 않는 것처럼 보인다. 따라서 일표본 T검정 (One-sample T-test)를 시행할 수 없고, 일표본 윌콕슨 부호 순위 검정 (One-Sample Wilcoxon Signed Rank Test)을 시행해야 한다.

일표본 윌콕슨 부호 순위 검정 (One-Sample Wilcoxon Signed Rank Test)

이번 일표본 윌콕슨 부호 순위 검정 (One-Sample Wilcoxon Signed Rank Test)의 귀무가설과 대립 가설은 다음과 같다. 

귀무 가설:$H_0=$ 모집단의 NP1_raw 중앙값은 55이다.

대립 가설:$H_1=$ 모집단의 중앙값은 55보다 크거나 작다. (양측 검정)

1) 분석(A) > 비모수검정(N) > 일표본(O)

2) 이때 나오는 창의 첫 페이지인 "목적"은 건들지 않는다.

3) "필드"를 누르고 분석하고자 하는 NP1_raw를 오른쪽으로 넘긴다.

4) "사용자 정의에 의한 검정(T)"를 누르고 "평균과 가설값 비교(Wilcoxon 부호 순위 검정)"을 체크하고, 가설 중위수에는 검정하고자 하는 값인 55를 적는다. 그리고 "실행"을 누른다. 

결과

p-value=0.000으로 이는 0.001보다 작다는 뜻이며, 0.05보다 작으므로 귀무가설을 기각하고 대립 가설을 받아들인다. 대립 가설은 중위수가 55가 아니라고 설정했었으므로 적어도 중위수가 55는 아니라고 이야기할 수 있다. 그렇다면 중위수가 얼마였길래 그럴까?

중위수 확인

1) 분석(A) > 기술통계량(E) > 데이터 탐색 (E)

2) 분석하고자 하는 변수인 NP1_raw을 "종속변수"에 넣어준다. 그 뒤 "확인"을 누른다.

결과

중위수는 49.96328279로 거의 50에 가깝다. 그렇다면 Wilcoxon 부호 순위 검정을 50에 대해 시행하면 어떻게 될까? 가설 중위수에 50을 넣고 실행을 눌러보자

결과

p-value>0.05이므로 귀무가설을 채택하여 50과 다르다고 할 수 없다는 결론을 얻는다. 

중요한 가정: 대칭성

위 논의에서 빠진 정말 중요한 가정이 하나 있다. 신경심리검사 1 원점수 (NP1_raw)의 분포가 어떤 점수를 기점으로 좌우대칭이라는 것이다. 윌콕슨 부호 순위 검정은 좌우대칭일 때 그 검정력이 극대화되며, 좌우대칭이 아니면 정확도가 떨어진다. 신경심리검사 1 원점수 (NP1_raw)의 분포를 히스토그램을 통해 알아보고자 하며 이는 위에 구해놓았다. 

봉우리가 세 개인 Trimodal shape을 하고 있고, 중앙값인 50을 기준으로 대칭인 것처럼 보인다. 따라서 위 분석에는 문제가 없는 듯하다.

가정이 성립하지 않는다면?

우리가 궁금하고, 문제가 되는 상황은 가정이 성립하지 않는 상황이다. 실제로 이럴 때가 많기 때문이다. 신경심리검사 2 원점수인 NP2_raw데이터의 분포를 확인해보자.

1) 분석(A) > 기술통계량(E) > 데이터 탐색 (E)

2) 분석하고자 하는 변수인 NP2_raw을 "종속변수"에 넣어준다. 그 뒤 "도표(T)..."를 선택한다.

3) "히스토그램(H)", "검정과 함께 정규성 도표(O)" 체크박스를 클릭하고 "계속(C)"를 누르고, 돌아가 "확인"을 누른다.

결과

분포는 오른쪽으로 꼬리가 긴 right skewed 모양을 하고 있으며, 중위수는 1.004532153이다. 이 값에 대해 일표본 윌콕슨 부호 순위 검정을 해보자. 보통 우리는 "정규성을 만족하지 않으므로 윌콕슨 부호 순위 검정으로 모집단의 중위수를 검정하자."라고 생각한다. 만약 이런 논리에 따른다면 1.004532135에 대해 일표본 윌콕슨 부호 순위 검정을 시행한다면 당연히 유의하지 않은 결과가 나와야 한다. 

1) 분석(A) > 비모수검정(N) > 일표본(O)

2) 이때 나오는 창의 첫 페이지인 "목적"은 건들지 않는다.

3) "필드"를 누르고 분석하고자 하는 NP2_raw를 오른쪽으로 넘긴다.

4) "사용자 정의에 의한 검정(T)"를 누르고 "평균과 가설값 비교(Wilcoxon 부호 순위 검정)"을 체크하고, 가설 중위수에는 검정하고자 하는 값인 1.004532135를 적는다. 그리고 "실행"을 누른다. 

결과

p-value가 0.001보다도 작다는 결론에 도달한다. 참 중앙값으로 "NP2_raw의 중앙값이 참 중앙값과 같니?"라고 물어보았는데 "아니요"라고 대답하는 참사가 벌어진다. 이렇게 '잘못된' 결론을 내는 이유는 사실 우리가 윌콕슨 부호 순위 검정에 대해 '잘못된' 지식이자 선입견을 갖고 있기 때문이다. 윌콕슨 부호 순위 검정을 좌우 대칭인 데이터에만 사용할 수 있고, 그럴 때에만 중위수에 대한 검정을 의미한다. 이럴 때 선택할 수 있는 옵션이 많지 않긴 한데, 그중 하나는 변환 (transformation)이다. 이런 right skewed data는 로그 변환 (log-transformation)을 하면 대칭성이 갖추어지는 경우가 많다. 로그 변환을 하고 히스토그램을 그려 분포를 확인해보자. (로그 변환에 관한 글은 다음 링크에서 확인할 수 있다. 2022.11.30 - [통계 프로그램 사용 방법/SPSS] - [SPSS] 변수 계산 (산술 연산))

1) 변환(T) > 변수계산(C)

2) NP2_raw에 로그를 씌운 값을 log_NP2_raw라는 변수에 저장한다. 

이렇게 변환한 변수가 대칭성을 띠는지, 혹시 정규성을 띠지는 않는지 (그러면 t-test를 시행하면 되므로) 확인한다.

1) 분석(A) > 기술통계량(E) > 데이터 탐색 (E)

2) 분석하고자 하는 변수인 NP2_raw을 "종속변수"에 넣어준다. 그 뒤 "도표(T)..."를 선택한다.

3) "히스토그램(H)", "검정과 함께 정규성 도표(O)" 체크박스를 클릭하고 "계속(C)"를 누르고, 돌아가 "확인"을 누른다.

결과

대칭성을 띠는 듯 하지만 정규성을 따르지는 않는다. 따라서 일표본 윌콕슨 부호 순위 검정을 시행하도록 한다.

1) 분석(A) > 비모수검정(N) > 일표본(O)

2) 이때 나오는 창의 첫 페이지인 "목적"은 건들지 않는다.

3) "필드"를 누르고 분석하고자 하는 NP2_raw를 오른쪽으로 넘긴다.

4) "사용자 정의에 의한 검정(T)"를 누르고 "평균과 가설값 비교(Wilcoxon 부호 순위 검정)"을 체크하고, 가설 중위수에는 검정하고자 하는 값을 넣는데, 원래 중위수가 1.004532135이었으므로 로그 변환을 하면 0과 가까우니 0을 적는다. 그리고 "실행"을 누른다. 

결과

이제야 유의하지 않다는 결론을 맞게 잘 내준다. 

그 외 다룰 내용 1: 정규성을 안 따르면 꼭 Wilcoxon test를 시행해야 하나?

 T-test의 전제조건은 표본 평균이 정규분포를 따르는 것이다. 그런데 중심 극한 정리에 따라 표본의 수 (우리 데이터에서는 n=1,000)가 커질수록 표본 평균의 분포는 정규성을 띠게 된다. 따라서 n수가 적당히 크기만 하면 표본이 정규분포를 따르는지와 관계없이 표본 평균은 정규성을 따른다고 할 수 있다. 이런 이유로 정규성과 관계없이 n수가 크기만 하면 t-test의 이용이 정당화되기도 한다. 합리적인 말이다.

 그런데 왜 정규분포를 따르는지 왜 다들 확인할까? 만약 모분포가 정규분포였다면 표본도 정규분포를 따를 확률이 높아진다. 물론 꼭 그런 건 아니지만 말이다. 따라서 표본이 정규분포를 따른다면, 모분포를 정규분포를 따른다고 할 수 있고, 그렇다면 n수가 작아도 표본 평균의 분포도 정규성을 따르니 t-test를 사용해도 되는 안전한 환경이 구축된다. 이런 이유로 정규성을 확인하게 된다.

그 외 다룰 내용 2: Wilcoxon signed rank test는 짝지어진 자료의 검정방법 아닌가?

 맞다. 하지만 one sample test에도 사용될 수 있다. 모수적 방법에서 대응 표본 T 검정 (paired T test)가 사실 일표본 T 검정 (One sample T test)와 같다는 것과 일맥상통하는 이야기다. (대응 표본 T검정은 다음 링크에서 확인할 수 있다.2022.11.30 - [반복 측정 자료 분석/SPSS] - [SPSS] 대응 표본 T검정 (Paired samples T-test))

[SPSS] 일표본 윌콕슨 부호 순위 검정 (비모수 일표본 중앙값 검정: One-Sample Wilcoxon Signed Rank Test) 정복 완료!

작성일: 2022.12.02.

최종 수정일: 2022.12.02.

이용 프로그램: IBM SPSS v26

운영체제: Windows 10

[SPSS] 등분산 가정이 성립하지 않는 일원 배치 분산 분석 (Welch's ANOVA, Brown-Forsythe ANOVA) 

이전 포스팅에서 흡연 상태를 "1) 비흡연자", "2) 과거 흡연자", "3) 현재 흡연자"로 나누었고, 각 그룹의 폐기능 검사 중 하나인 FVC (Forced Vital Capacity)의 평균에 차이가 있는지 알아보고자 하여 일원 배치 분산 분석 (ANOVA)를 시행하였다. 2022.11.30 - [모평균 검정/SPSS] - [SPSS] 일원 배치 분산 분석 (One-way ANOVA, ANalysis Of VAriance)

ANOVA의 전제 조건은 두 가지였다.

1) 정규성

2) 등분산성

만약 '1) 정규성'은 만족하지만 '2) 등분산성'이 성립하지 않는 경우에는 어떻게 해야 할까?

당연히, 이전 포스팅의 일반적인 ANOVA는 실시할 수 없고, Welch's ANOVA 혹은 Brown-Forsythe ANOVA를 시행해야 한다.

 - 이 Brown-Forsythe ANOVA는 Brown-Forsythe의 등분산성 검정과는 다른 것이다. (아래에서 설명함)

이번 포스팅에서는 이 Welch's ANOVA와 Brown-Forsythe ANOVA를 다뤄보고자 한다.

*실습용 데이터는 아래 링크를 클릭하면 다운로드할 수 있습니다.

2022.08.04 - [공지사항 및 소개] - 분석용 데이터 (update 22.11.28)

데이터를 불러오도록 한다. 불러오는 방법은 다음 링크를 확인하도록 한다.

2022.08.04 - [통계 프로그램 사용 방법/SPSS] - [SPSS] 데이터 불러오기 및 저장하기

목표:  거주 지역 단위에 따라 삶의 질의 평균이 모집단 수준에서 서로 다르다고 말할 수 있는가?

전제조건 (정규성)

 Welch's ANOVA 및 Brown-Forsythe ANOVA에는 하나의 전제조건이 필요하다. 본 포스팅의 예시에 맞추어 설명하면 다음과 같다.

  - 정규성: 대도시, 중소도시, 시골 거주자 별로 삶의 질의 분포를 보았을 때 각각의 분포는 정규성을 따른다. 

그리고, 분산은 같지 않아도 된다.

2022.08.11 - [기술 통계/SPSS] - [SPSS] 정규성 검정

2022.08.18 - [기술 통계/SPSS] - [SPSS] 고급 Q-Q Plot - Van der Waerden, Rankit, Tukey, Blom

1) 정규성

1) 분석(A) > 기술통계량(E) > 데이터 탐색 (E)

2) 분석하고자 하는 변수인 QOL을 "종속변수"에 넣어준다. 거주 지역 단위에 따라 정규성을 검정할 것이므로 "요인(F)"에 RESID를 넣는다. 그 뒤 "도표(T)..."를 선택한다.

3) "히스토그램(H)", "검정과 함께 정규성 도표(O)" 체크박스를 클릭하고 "계속(C)"를 누르고, 돌아가 "확인"을 누른다.

결과

1) Q-Q plot

2) 히스토그램

3) Shapiro-Wilk 검정

표본의 수가 2,000이 되지 않으므로 Shapiro-Wilk 통계량의 p-value를 보아야 하고, 이는 0.05보다 크다. Q-Q plot, 히스토그램에서 정규성을 띠지 않는다고 할만한 근거가 없으므로 정규성을 따른다고 결론을 짓는다.

따라서 정규성 전제는 따른다고 할 수 있다.

Welch's & Brown-Forsythe ANOVA 실행 방법

1) 분석(A) > 평균 비교 (M) > 일원배치 분산분석(O)

2) 분석하고자 하는 변수 QOL를 "종속변수(E)"쪽으로 옮기고, RESID을 "요인(F)"쪽으로 옮긴다. 그리고 "옵션"을 누른다.

3) "분산 동질성 검정(H)" 체크박스를 선택한다. 분산이 같지 않을 경우를 대비해 "Brown-Forsythe", "Welch" 체크박스를 클릭한다.  그리고 "계속 (C)"을 누른다.

4)  "사후분석(H)"을 클릭한다.

분산이 같지 않을 경우에만 대비하여 "Tanhame의 T2", "Dunnett의 T3", "Games-Howell", "Dunnett의 C"를 클릭한다. 분산이 같지 않은 경우 위쪽에 있는 사후 분석 방법은 사용할 수 없고 아래 사후 분석만 사용할 수 있다.

결과

 1) 등분산성 검정

맨 위에 평균을 기준으로 한 검정이 일반적인 Levene의 등분산 검정이다.

그다음 중위수를 기준으로 한 검정이 Brown-Forsythe의 등분산성 검정이다.

어떤 것을 선택하는지는 개인의 선택이다. 하지만 이 경우 둘 다 0.05보다 작으므로 귀무가설을 기각하고, 분산에 차이가 있다고 결론 내린다.

2) 일반 ANOVA

분산이 다르다고 결론 내렸으므로 이 표는 보면 안 된다.

3) Welch, Brown-Forsythe ANOVA

두 가지 방법 모두 p-value가 0.001보다 작다고 이야기하고 있다. 따라서 귀무가설을 기각하고 대립 가설을 채택한다. 그렇다면 여기에서 귀무가설 및 대립 가설은 무엇이었는가?

 귀무가설:  $H_0 =$세 집단의 모평균은 "모두" 동일하다.

 대립 가설:  $H_1 =$세 집단의 모평균이 모두 동일한 것은 아니다.

우리는 대립 가설을 채택해야 하므로 "세 집단의 모평균이 모두 동일한 것은 아니다."라고 결론 내릴 것이다.

그런데, 세 집단의 모평균이 모두 동일하지 않다는 말은 세 집단 중 두 개씩 골라 비교했을 때, 적어도 한 쌍에서는 차이가 난다는 것이다. 따라서 세 집단 중 두 개씩 골라 비교를 해보아야 하며, 이를 사후 분석 (post hoc analysis)이라고 한다. 세 집단에서 두 개씩 고르므로 가능한 경우의 수는$_3C_2=3$이다. 

 (1) 대도시 거주자 vs 중소도시 거주자

 (2) 대도시 거주자 vs 시골 거주자

 (3) 중소도시 거주자 vs 시골 거주자

사후 분석 결과를 볼 것이다.

이전 일반 ANOVA 포스팅(2022.11.30 - [모평균 검정/SPSS] - [SPSS] 일원 배치 분산 분석 (One-way ANOVA, ANalysis Of VAriance))에서는 여러 사후 분석 방법이 있다고 소개했었다. 하지만 등분산이 가정되지 않는 상황에서 쓸 수 있는 사후 분석 방법은 현저히 적어진다. 많이들 쓰는 방법은 다음 네 가지다.

1) Tamhane's T2

2) Games-Howell

3) Dunnett's T3

4) Dunnett's C

1) Tamhane's T2

2) Games-Howell

3) Dunnett's T3

4) Dunnett's C

박스 색깔과 검정방법을 매칭 시켜두었다.

위 표를 보는 법은 다음과 같다.

Dunnett C를 제외하고, 어떤 방법을 사용하든, 모든 비교에서 p-value는 0.001보다 작아 매우 유의하다. 그리고 Dunnett C는 신뢰구간에 0이 포함되지 않으면 유의한 것인데, 0을 포함하는 구간이 없다. 따라서 모든 비교에서 유의미한 FVC의 차이가 있다고 할 수 있다.

어떤 사후 분석을 쓸 것인가

 이 논의에 대해 정답이 따로 있는 것은 아니다. 적절한 방법을 사용하여 논문에 제시하면 되고, 어떤 것이 정답이라고 콕 집어 이야기할 수는 없다. 다만, 사후 분석 방법이 여러 가지가 있다는 것은 '사후 분석 방법에 따라 산출되는 결과가 달라질 수 있다.'는 것을 의미하고, 심지어는 '어떤 사후 분석 방법을 채택하냐에 따라 유의성 여부가 달라질 수도 있다.'는 것을 의미한다. 심지어, Welch's or Brown-Forsythe's ANOVA에서는 유의한 결과가 나왔는데, 사후 분석을 해보니 유의한 차이를 보이는 경우가 없을 수도 있다. 따라서 어떤 사후 분석 방법 결과에 따른 결과인지 유의하여 해석할 필요가 있다.

[SPSS] 등분산 가정이 성립하지 않는 일원 배치 분산 분석 (Welch's ANOVA, Brown-Forsythe ANOVA) 정복 완료

작성일: 2022.11.30.

최종 수정일: 2022.11.30.

이용 프로그램: IBM SPSS v26

운영체제: Windows 10

[SPSS] 일원 배치 분산 분석 (One-way ANOVA, ANalysis Of VAriance)

이전 포스팅에서 음주 여부에 따른 ALT 평균에 차이가 있는지를 알아보기 위해서는 T test를 사용한다는 내용을 알아보았다. 2022.11.30 - [모평균 검정/SPSS] - [SPSS] 독립 표본 T검정 (Independent samples T-test)

 음주 여부는 "1) 음주자", "2) 비음주자"로 나뉘는 이분형 변수다. 즉, 음주자의 ALT 평균과 비음주자의 ALT 평균을 비교한 것이었다. 

 만약, 두 개 이상의 범주로 나뉘는 변수에 대해 모평균의 검정을 하고자 한다면 어떻게 해야 할까? 예를 들어, 흡연 상태를 "1) 비흡연자", "2) 과거 흡연자", "3) 현재 흡연자"로 나누었고, 각 그룹의 폐기능 검사 중 하나인 FVC (Forced Vital Capacity)의 평균에 차이가 있는지 알아보고자 한다. 

 이때 사용할 수 있는 방법이 일원 배치 분산 분석인 One-way ANOVA (Analysis of Variance)이며 이번 포스팅에서 다뤄볼 주된 내용이다.

*실습용 데이터는 아래 링크를 클릭하면 다운로드할 수 있습니다.

2022.08.04 - [공지사항 및 소개] - 분석용 데이터 (update 22.11.28)

데이터를 불러오도록 한다. 불러오는 방법은 다음 링크를 확인하도록 한다.

2022.08.04 - [통계 프로그램 사용 방법/SPSS] - [SPSS] 데이터 불러오기 및 저장하기

목표: 흡연 상태에 따라 FVC 평균은 서로 다르다고 모집단 수준에서 말할 수 있는가?

전제조건 (정규성, 등분산성)

 ANOVA에는 두 가지 전제조건이 필요하다. 본 포스팅의 예시에 맞추어 설명하면 다음과 같다.

 1) 정규성: 현재 흡연자, 과거 흡연자, 비흡연자 별로 FVC의 분포를 보았을 때 각각의 분포는 정규성을 따른다. 

 2) 등분산성: 현재 흡연자, 과거 흡연자, 비흡연자 별로 FVC의 분포를 보았을 때 분산은 서로 같다.

따라서 각각을 검정해야 한다.

1) 정규성 

2022.08.11 - [기술 통계/SPSS] - [SPSS] 정규성 검정

2022.08.18 - [기술 통계/SPSS] - [SPSS] 고급 Q-Q Plot - Van der Waerden, Rankit, Tukey, Blom

1) 분석(A) > 기술통계량(E) > 데이터 탐색 (E)

2) 분석하고자 하는 변수인 FVC_pPRED을 "종속변수"에 넣어준다. 흡연 상태에 따라 분석할 것이므로 "요인(F)"에 SMOK을 넣는다. 그 뒤 "도표(T)..."를 선택한다.

3) "히스토그램(H)", "검정과 함께 정규성 도표(O)" 체크박스를 클릭하고 "계속(C)"를 누르고, 돌아가 "확인"을 누른다.

결과
1) Q-Q plot

2) 히스토그램

3) Shapiro-Wilk 검정

 표본의 수가 2,000이 되지 않으므로 Shapiro-Wilk 통계량의 p-value를 보아야 하고, 이는 0.05보다 크다. Q-Q plot, 히스토그램에서 정규성을 띠지 않는다고 할만한 근거가 없으므로 정규성을 따른다고 결론을 짓는다.

 따라서 정규성 전제조건은 만족한다고 할 수 있다.

일원 배치 분산 분석 (ANOVA) 방법

1) 분석(A) > 평균 비교 (M) > 일원배치 분산분석(O)

2) 분석하고자 하는 변수 FVC_pPRED를 "종속변수(E)"쪽으로 옮기고, SMOK을 "요인(F)"쪽으로 옮긴다. 그리고 "옵션"을 누른다.

3) "분산 동질성 검정(H)" 체크박스를 선택한다. 그리고 "계속 (C)"을 누른다.

4)  "사후분석(H)"을 클릭한다.

많은 사후분석 방법이 있지만 우리는 Bonferroni, Scheffe, Tukey, Duncan을 확인하도록 한다.  이 네 개를 체크한다.

결과

1) 등분산성 검정

ANOVA의 두 번째 전제조건인 등분산성에 대한 검정이다.

맨 위에 평균을 기준으로 한 검정이 일반적인 Levene의 등분산 검정이다.

그다음 중위수를 기준으로 한 검정이 Brown-Forsythe의 등분산성 검정이다.

어떤 것을 선택하는지는 개인의 선택이다. 하지만 이 경우 둘 다 0.05보다 크므로 귀무가설을 받아들여, 분산에 차이가 없다고 결론 내린다. 따라서 전제조건을 만족함을 알 수 있다.

2) ANOVA결과

ANOVA의 결과는 집단-간 유의 확률을 확인하면 된다. p-value<0.001으로 유의하다. 따라서 귀무가설을 기각하고 대립 가설을 선택한다. 그렇다면 여기에서 귀무가설 및 대립 가설은 무엇이었는가?

 귀무가설:  $H_0 =$ 세 집단의 모평균은 "모두" 동일하다.

 대립 가설:  $H_1 =$  세 집단의 모평균이 모두 동일한 것은 아니다.

우리는 대립 가설을 채택해야 하므로 "세 집단의 모평균이 모두 동일한 것은 아니다."라고 결론 내릴 것이다.

이 말은, 세 집단 중 두 개씩 골라 비교했을 때, 적어도 한 쌍에서는 차이가 난다는 것이다. 따라서 세 집단 중 두 개씩 골라 비교를 해보아야 하며, 이를 사후 분석 (post hoc analysis)이라고 한다. 세 집단에서 두 개씩 고르므로 가능한 경우의 수는 $_3C_2 =3$이다.

 (1) 비흡연자 vs 과거 흡연자

 (2) 비흡연자 vs 현재 흡연자

 (3) 과거 흡연자 vs 현재 흡연자

사후 분석 결과 부분을 보겠다.

1) 사후검정 1 - Tukey, Scheffe, Bonferroni

Duncan을 제외한 방법은 각 차이에 대한 보정된 p-value를 보여준다. 위 표를 보는 법은 다음과 같다.

어떤 방법을 사용하든, 모든 비교에서 p-value는 0.001보다 작아 매우 유의하므로 모든 비교에서 유의미한 FVC의 차이가 있다고 할 수 있다.

2) 사후검정 2 - Tukey, Duncan, Scheffe

Bonferroni는 동질적 부분집합으로 표현해주지 않으며, Duncan은 동질적 부분집합으로만 표현해준다. 

위 세 개 모두 같은 결과를 보여주고 있다. 해석하는 방법은 다음과 같다.

SMOK=2는 평균이 76.78562788이며, 부분집합 1에 속한다.

SMOK=1는 평균이 85.80627187이며, 부분집합 2에 속한다.

SMOK=0는 평균이 95.33911151이며, 부분집합 3에 속한다.

속한 부분집합이 다르면 평균에 유의미한 차이가 있다는 것이다. 부분집합 1, 2, 3은 서로 다른 평균을 가진 모집단에서 유래했다고 볼 수 있으므로 비흡연자, 과거 흡연자, 현재 흡연자는 서로 다른 평균을 갖고 있다고 할 수 있다. 

이 시점에서 이런 의문이 들 수 있다.

"각각의 그룹별로 평균을 비교하면 되지, 굳이 왜 ANOVA라는 방법까지 사용하는 것인가?"

 아주 논리적인 의문점이다. 하지만, 반드시 ANOVA를 사용해야 한다. 그 이유는 다음과 같다. 본 사례는 흡연 상태에 따른 조합 가능한 경우의 수가 3인데, 각각 유의성의 기준을 $\alpha=0.05$로 잡아보자. 이때 세 번의 비교에서 모두 귀무가설이 학문적인 진실인데(평균에 차이가 없다.), 세 번 모두 귀무가설을 선택할 확률은 $\left(1-0.05 \right)^3 \approx 0.86$이다. (이해가 어려우면 p-value에 대한 설명 글을 읽고 오길 바란다. 2022.09.05 - [통계 이론] - [이론] p-value에 관한 고찰)

 그런데, ANOVA의 귀무가설은 "모든 집단의 평균이 같다."이다. 따라서 모든 집단의 평균이 같은 것이 학문적 진실일 때, 적어도 한 번이라도 대립 가설을 선택하게 될 확률은 1−0.86=0.141−0.86=0.14가 된다. 즉, 유의성의 기준이 올라가게 되어, 덜 보수적인 결정을 내리게 되고, 다시 말하면 대립 가설을 잘 선택하는 쪽으로 편향되게 된다. 학문적으로는 '다중 검정 (multiple testing)을 시행하면 1종 오류가 발생할 확률이 증가하게 된다.'라고 표현한다.

 따라서, 각각을 비교해보는 것이 아니라 한꺼번에 비교하는 ANOVA를 시행해야 함이 마땅하다. 

 여기에서 한 번 더 의문이 들 수 있다.

 "사후 분석을 할 때에는 1종 오류가 발생하지 않는가?"

그렇다. 1종 오류가 발생할 확률이 있으므로, p-value의 기준을 더 엄격하게 (0.05보다 더 작게) 잡아야 한다. P-value를 보정하는 방법은 여러 가지가 나와있는데, 가장 간단하고 제일 보수적인 방법이 위에 예시에서 사용한 본페로니 방법이다. 그 외에도 굉장히 많은 방법이 있지만, Bonferroni, Duncan, Scheffe, Tukey가 가장 많이 쓰이는 듯하다. 이 중에 Duncan, Tukey는 그룹별로 표본의 수가 같을 때만 사용해야 하므로 유의하도록 한다.

어떤 사후 분석을 쓸 것인가

 이 논의에 대해 정답이 따로 있는 것은 아니다. 적절한 방법을 사용하여 논문에 제시하면 되고, 어떤 것이 정답이라고 콕 집어 이야기할 수는 없다. 다만, 사후 분석 방법이 여러 가지가 있다는 것은 '사후 분석 방법에 따라 산출되는 결과가 달라질 수 있다.'는 것을 의미하고, 심지어는 '어떤 사후 분석 방법을 채택하냐에 따라 유의성 여부가 달라질 수도 있다.'는 것을 의미한다. 심지어, ANOVA에서는 유의한 결과가 나왔는데, 사후 분석을 해보니 유의한 차이를 보이는 경우가 없을 수도 있다. 따라서 어떤 사후 분석 방법 결과에 따른 결과인지 유의하여 해석할 필요가 있다.

[SPSS] 일원 배치 분산 분석 (One-way ANOVA, ANalysis Of VAriance) 정복 완료!

작성일: 2022.11.30.

최종 수정일: 2022.11.30.

이용 프로그램: IBM SPSS v26

운영체제: Windows 10

[SPSS] 독립 표본 T검정 (Independent samples T-test)

  세상에 존재하는 모든 사람을 대상으로 연구를 하면 참 좋겠지만, 시간적인 이유로, 그리고 경제적인 이유로 일부를 뽑아서 연구를 진행할 수밖에 없다. 모든 사람을 모집단이라고 하고, 뽑힌 일부를 표본이라고 한다. 우리는 표본으로 시행한 연구로 모집단에 대한 결론을 도출해내고자 할 것이다. 

 1000명에게 피검사를 시행하였고, 간 기능 검사의 일환으로 ALT 수치를 모았다. 이 데이터를 기반으로 1000명이 기원한 모집단 인구에서의 ALT평균이 어떻게 될지 예측하는 것이 T-test이다. T-test는 크게 세 가지로 나눌 수 있다.

 1) 일표본 T검정 (One sample T-test) : 2022.11.29 - [모평균 검정/SPSS] - [SPSS] 일표본 T검정 (One-sample T-test)

 : 모집단의 평균이 특정 값이라고 할 수 있는가?

 예) 모집단의 ALT 평균이 50이라고 할 수 있는가?

 2) 독립 표본 T검정 (Independent samples T-test, Two samples T-test)

 : 두 모집단의 평균이 다르다고 할 수 있는가?

 예) 고혈압 환자와 일반인의 수축기 혈압 평균이 서로 다르다고 할 수 있는가?

 3) 대응표본 T검정 (Paired samples T-test) : 2022.11.30 - [반복 측정 자료 분석/SPSS] - [SPSS] 대응 표본 T검정 (Paired samples T-test)

 : 모집단의 짝지어진 변수들의 평균이 다르다고 할 수 있는가?

예) 간기능 개선제 복용 전 ALT 평균은 간기는 개선제 복용 후 ALT 평균과 다르다고 할 수 있는가?

이번 포스팅에서는 독립 표본 T검정 (Independent samples T-test, Two samples T-test)에 대해 알아볼 것이다.

*실습용 데이터는 아래 링크를 클릭하면 다운로드할 수 있습니다.

2022.08.04 - [공지사항 및 소개] - 분석용 데이터 (update 22.11.28)

데이터를 불러오도록 한다. 불러오는 방법은 다음 링크를 확인하도록 한다.

2022.08.04 - [통계 프로그램 사용 방법/SPSS] - [SPSS] 데이터 불러오기 및 저장하기

목표: 고혈압 환자의 수축기 혈압(SBP) 평균은 정상인의 수축기 혈압 평균과 다르다고 모집단 수준에서 말할 수 있는가?

이번 포스팅의 목적은 1000명의 데이터를 가지고, 이 1000명이 기원한 모집단에서 수축기 혈압 평균이 고혈압 유병 여부에 따라 다르다고 할 수 있는지 판단하는 것이다.

전제조건 (정규성) 

독립 표본 (Indepent samples, Two tamples) T 검정의 전제조건은 각각의 독립 표본의 분포가 정규성을 따른다는 것이다. 즉, 여기에서는 고혈압 유병 여부에 따라 수축기 혈압 (SBP)의 정규성을 검정하도록 하겠다. 정규성 검정에 관한 분석 내용은 다음 글에서 살펴볼 수 있다. 

2022.08.11 - [기술 통계/SPSS] - [SPSS] 정규성 검정

2022.08.18 - [기술 통계/SPSS] - [SPSS] 고급 Q-Q Plot - Van der Waerden, Rankit, Tukey, Blom

1) 분석(A) > 기술통계량(E) > 데이터 탐색 (E)

2) 분석하고자 하는 변수인 SBP을 "종속변수"에 넣고, 고혈압에 따라 분석할 것이므로 HTN을 "요인(F)"에 넣는다. 그 뒤 "도표(T)..."를 선택한다.

3) "히스토그램(H)", "검정과 함께 정규성 도표(O)" 체크박스를 클릭하고 "계속(C)"를 누르고, 돌아가 "확인"을 누른다.

정규성 검정 - 결과 (QQ plot과 Histogram)

1) 정상인

2) 고혈압 환자

정규성 검정 - 결과 (Shapiro-Wilk 검정)

 N수가 2,000개 미만이므로 Shapiro-Wilk 통계량의 p-value를 보면 0.05 이상이며, Q-Q Plot은 대부분의 데이터가 선상에 있고, 히스토그램에서도 정규성을 따르는 것처럼 볼 수 있다. 

 전제조건이 성립한다. 즉, 고혈압 유병 여부에 따른 수축기 혈압 (SBP)의 분포가 정규성을 따른다고 할 수 있다. 따라서 독립 표본 T 검정 (Independent samples T test, Two samples T test)을 시행할 수 있다.

독립 표본 T 검정 방법

1) 분석(A) > 평균 비교 (M) > 독립표본 T 검정

2) 분석하고자 하는 변수 SBP를 "검정 변수(T)"쪽으로 옮기고, 아래 "집단변수(G)"에 HTN을 넣는다. 그리고 "집단 정의(D)"을 누른다.

3) HTN은 정상인을 0으로, 고혈압 환자를 1로 정의하고 있다. 즉 우리는 0과 1을 비교할 것이므로 집단 1과 집단 2에 각각 0과 1을 넣는다.

결과

 1) 기술 통계

먼저 기술통계를 보여준다. 고혈압 유무에 따른 표본 수, 평균, 표준편차, 표준오차를 보여준다.

2) T 검정 결과

표를 하나씩 뜯어보기로 한다.

 (1) 등분산 검정

 Levene의 등분산 검정을 시행해준다. p-value는 0.919로 0.05보다 크다. 따라서 귀무가설을 기각할 수 없다. 이 검정의 귀무가설과 대립 가설은 무엇일까?

귀무가설: 고혈압 환자와 정상인의 SBP분포는 등산이 같다.

귀무가설: 고혈압 환자와 정상인의 SBP분포는 등산이 다르다.

따라서 우리는 분산이 같다고 가정한다.

(2) 평균 차이 검정

등분산이 가정되므로 파란색 동그라미 안의 p-value를 읽는다. 만약 등분산성이 보장되지 않으면 그 아래의 p-value를 읽는다. p-value는 0.001보다 작으므로 귀무가설을 기각할 수 있으며, 본 검정에서 귀무가설은 "HTN에 따라 SBP의 평균이 같다."이므로 "HTN에 따라 SBP의 평균은 다르다."라고 결론 내릴 수 있다.

[SPSS] 독립 표본 T검정 (Independent samples T-test) 정복 완료!

작성일: 2022.11.30.

최종 수정일: 2022.11.30.

이용 프로그램: IBM SPSS v26

운영체제: Windows 10

[SPSS] 일표본 T검정 (One-sample T-test)

 세상에 존재하는 모든 사람을 대상으로 연구를 하면 참 좋겠지만, 시간적인 이유로, 그리고 경제적인 이유로 일부를 뽑아서 연구를 진행할 수밖에 없다. 모든 사람을 모집단이라고 하고, 뽑힌 일부를 표본이라고 한다. 우리는 표본으로 시행한 연구로 모집단에 대한 결론을 도출해내고자 할 것이다. 

 1000명에게 피검사를 시행하였고, 간 기능 검사의 일환으로 ALT 수치를 모았다. 이 데이터를 기반으로 1000명이 기원한 모집단 인구에서의 ALT평균이 어떻게 될지 예측하는 것이 T-test이다. T-test는 크게 세 가지로 나눌 수 있다.

 1) 일표본 T검정 (One sample T-test)

 : 모집단의 평균이 특정 값이라고 할 수 있는가?

 예) 모집단의 ALT 평균이 50이라고 할 수 있는가?

 2) 독립 표본 T검정 (Independent samples T-test): 2022.11.30 - [모평균 검정/SPSS] - [SPSS] 독립 표본 T검정 (Independent samples T-test)

 : 두 모집단의 평균이 다르다고 할 수 있는가?

 예) 고혈압 환자와 일반인의 수축기 혈압 평균이 서로 다르다고 할 수 있는가?

 3) 대응표본 T검정 (Paired samples T-test): 2022.11.30 - [반복 측정 자료 분석/SPSS] - [SPSS] 대응 표본 T검정 (Paired samples T-test)

 : 모집단의 짝지어진 변수들의 평균이 다르다고 할 수 있는가?

예) 간기능 개선제 복용 전 ALT 평균은 간기는 개선제 복용 후 ALT 평균과 다르다고 할 수 있는가?

이번 포스팅에서는 일표본 T검정 (One sample T-test)에 대해 알아볼 것이다.

*실습용 데이터는 아래 링크를 클릭하면 다운로드할 수 있습니다.

2022.08.04 - [공지사항 및 소개] - 분석용 데이터 (update 22.11.28)

데이터를 불러오도록 한다. 불러오는 방법은 다음 링크를 확인하도록 한다.

2022.08.04 - [통계 프로그램 사용 방법/SPSS] - [SPSS] 데이터 불러오기 및 저장하기

목표: 모집단의 ALT 평균이 50이라고 할 수 있는가?

 이번 포스팅의 목적은 1000명의 데이터를 가지고, 이 1000명이 기원한 모집단의 ALT평균이 50이라고 할 수 있는지 판단하는 것이다.

전제조건 (정규성)

일표본 (One sample) T 검정의 전제조건은 해당 분포가 정규성을 따른다는 것이다. 정규성 검정을 하도록 하겠다. 정규성 검정에 관한 분석 내용은 다음 글에서 살펴볼 수 있다. 

2022.08.11 - [기술 통계/SPSS] - [SPSS] 정규성 검정

2022.08.18 - [기술 통계/SPSS] - [SPSS] 고급 Q-Q Plot - Van der Waerden, Rankit, Tukey, Blom

1) 분석(A) > 기술통계량(E) > 데이터 탐색 (E)

2) 분석하고자 하는 변수인 ALT을 "종속변수"에 넣어준다. 그 뒤 "도표(T)..."를 선택한다.

3) "히스토그램(H)", "검정과 함께 정규성 도표(O)" 체크박스를 클릭하고 "계속(C)"를 누르고, 돌아가 "확인"을 누른다.

1) Q-Q plot

2) 히스토그램

3) Shapiro-Wilk 검정

 N수가 2,000개 미만이므로 Shapiro-Wilk 통계량의 p-value를 보면 0.05 이상이며, Q-Q Plot은 대부분의 데이터가 선상에 있고, 히스토그램에서도 정규성을 따르는 것처럼 볼 수 있다. 따라서 ALT로는 일표본 T검정 (One-sample T-test)를 시행할 수 있다. 시행하도록 하겠다.

1) 분석(A) > 평균 비교 (M) > 일표본 T 검정 (S)

2) 분석하고자 하는 변수 ALT를 "검정 변수(T)"쪽으로 옮기고, 아래 "검정값(V)"에 50을 적는다. 그리고 "확인"을 누른다.

결과

확인할 것은 "유의확률(양측)"의 값인 0.000이다. 이는 0.001보다 작다는 뜻으로 매우 유의하다는 말이다. 따라서 귀무가설을 기각하고 대립 가설을 선택할 것이다. 여기에서 귀무가설은 "모집단의 ALT 평균은 50이다."였고, 대립가설은 "모집단의 평균은 50보다 크거나 작다."이므로 이 집단의 모평균이 50이 아닌 것으로 결론 내리는 것이 옳다. 평균이 35였으므로 합당한 결론이다.

SPSS 일표본 T검정 (One-sample T-test) 정복 완료!

작성일: 2022.11.29.

최종 수정일: 2022.11.30.

이용 프로그램: IBM SPSS v26

운영체제: Windows 10