[R] 대응 표본 T검정 (Paired samples T-test) - t.test()

[R] 대응 표본 T검정 (Paired samples T-test) - t.test()

 

  세상에 존재하는 모든 사람을 대상으로 연구를 하면 참 좋겠지만, 시간적인 이유로, 그리고 경제적인 이유로 일부를 뽑아서 연구를 진행할 수밖에 없다. 모든 사람을 모집단이라고 하고, 뽑힌 일부를 표본이라고 한다. 우리는 표본으로 시행한 연구로 모집단에 대한 결론을 도출해내고자 할 것이다. 

 1000명에게 피검사를 시행하였고, 간 기능 검사의 일환으로 ALT 수치를 모았다. 그리고, 간 기능 개선제를 복용시킨 뒤 ALT 검사를 다시 시행하였다. 이 데이터를 기반으로 1000명이 기원한 모집단 인구에서 간 기능 개선제 복용은 ALT 수치를 개선시키는지 여부를 확인하는 것이 T-test이다. T-test는 크게 세 가지로 나눌 수 있다.

 

 1) 일표본 T검정 (One sample T-test) : 2022.11.03 - [모평균 검정/R] - [R] 일표본 T검정 (One-sample T-test) - t.test()

 : 모집단의 평균이 특정 값이라고 할 수 있는가?

 예) 모집단의 ALT 평균이 50이라고 할 수 있는가?

 

 

 2) 독립 표본 T검정 (Independent samples T-test, Two samples T-test) : 2022.11.12 - [모평균 검정/R] - [R] 독립 표본 T검정 (Independent samples T-test) - t.test(), var.test(), levene.test()

 : 두 모집단의 평균이 다르다고 할 수 있는가?

 예) 고혈압 환자와 일반인의 수축기 혈압 평균이 서로 다르다고 할 수 있는가?

 

 3) 대응 표본 T검정 (Paired samples T-test) 

 : 모집단의 짝지어진 변수들의 평균이 다르다고 할 수 있는가?

예) 간 기능 개선제 복용 전 ALT 평균은 간기는 개선제 복용 후 ALT 평균과 다르다고 할 수 있는가?

 

이번 포스팅에서는 대응 표본 T검정 (Paired samples T-test)에 대해 알아볼 것이다.

 

 

왜 대응 표본 T 검정이 필요할까?

 독립 표본 T 검정을 공부한 사람이라면 대응 표본 T 검정의 필요성에 대해 의구심을 가질 수 있다. 간 기능 개선제 복용 전 ALT와 간 기능 개선제 복용 후 ALT에 대해 독립 표본 T 검정을 돌리면 될 것이라고 생각할 수 있기 때문이다. 하지만 결론적으로 그렇게 하면 안 된다. 예를 들어 다음 사례를 봐보자.

환자 번호	시험 공부 전 시험 점수	시험 공부 후 시험 점수
1번	0.1	0.2
2번	0.2	0.3
...	$x$	$x+0.1$
999번	99.9	100.0
1000번	100.0	100.0

1000명이 시험을 보았고, 원래 100점을 받았던 1000번을 제외한 모든 사람이 시험공부로 0.1점이 올랐다. 1000명 중 999명의 점수가 올랐으므로 공부는 시험 점수를 올리는데 유의미한 영향력을 미칠 수 있다고 결론이 나야 합당할 것이다. 하지만 공부 전 후 시험 점수의 평균은 둘 다 50점에 가깝고 큰 변화는 없는 것처럼 보인다. 따라서 독립 표본 T 검정으로 내린 결론은 잘못된 것이다. 즉, 대응되는 (paired) 경우 그 값 자체보다는 둘 사이의 차이에 집중해야 한다.

 

*실습용 데이터는 아래 링크를 클릭하면 다운로드할 수 있습니다.

2022.08.04 - [공지사항 및 소개] - 분석용 데이터 (update 22.11.21)

분석용 데이터 (update 22.11.21)

 

코드를 보여드리기에 앞서 워킹 디렉토리부터 지정하겠다.

워킹 디렉토리에 관한 설명은 다음 링크된 포스트에서 볼 수 있다.

2022.08.05 - [통계 프로그램 사용 방법/R] - [R] 작업 디렉토리 (Working Directory) 지정 - getwd(), setwd()

setwd("C:/Users/user/Documents/Tistory_blog")

 

데이터를 불러와 df에 객체로 저장하겠다.

데이터 불러오는 방법은 다음 링크에서 볼 수 있다.

2022.08.05 - [통계 프로그램 사용 방법/R] - [R] 데이터 불러오기 : EXCEL - read_excel(), read.xlsx()

2022.08.10 - [통계 프로그램 사용 방법/R] - [R] 데이터 저장하기 : CSV 파일 - write.csv(), write_csv()

2022.08.10 - [통계 프로그램 사용 방법/R] - [R] 데이터 불러오기 : SAS file (.sas7bdat) - read.sas7bdat(), read_sas()

install.packages("readr")
library("readr")
df<-read_csv("Data.csv")

 

전제: 정규성 검정 (차이)

 대응 표본 T 검정 (Paired samples T test)의 전제 조건은 검정하고자 하는 두 변수의 차이가 정규분포를 따른다는 것이다. 따라서 ALT와 간 기능 개선제 복용 후 ALT(ALT_POSTMED)의 차이를 구하고 정규성 검정을 시행한다. 

차이를 구하는 방법: 

2022.11.25 - [통계 프로그램 사용 방법/R] - [R] 변수 계산 (산술 연산)

정규성 검정을 하는 방법: 

2022.08.11 - [기술 통계/R] - [R] 정규성 검정 (1) : Q-Q plot - qqnorm(), qqline()

2022.08.11 - [기술 통계/R] - [R] 정규성 검정 (2) : 히스토그램 - hist(), dnorm()

2022.08.11 - [기술 통계/R] - [R] 정규성 검정 (3) : 정량적 검정 (Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov) - shapiro.test(), ks.test()

2022.08.12 - [기술 통계/R] - [R] 정규성 검정 (4) : 정량적 검정 (Lilliefors test) - lillie.test()

2022.08.16 - [기술 통계/R] - [R] 고급 Q-Q Plot - Van der Waerden, Rankit, Tukey, Blom

 

코드

##ALT 차이 변수를 만들기
df$ALT_DIF<-df$ALT-df$ALT_POSTMED

##ALT 차이 변수의 정규성 검정
# 1) Q-Q plot 그리기
qqnorm(df$ALT_DIF)
qqline(df$ALT_DIF)

# 2) 히스토그램 그리기
hist(df$ALT_DIF, prob=TRUE)
ALT_DIFrange<-seq(min(df$ALT_DIF),max(df$ALT_DIF),length=max(max(df$ALT_DIF)-min(df$ALT_DIF),100))
ND<-dnorm(ALT_DIFrange,mean=mean(df$ALT_DIF),sd=sd(df$ALT_DIF))
lines(ALT_DIFrange, ND, lwd=2)

# 3) Shapiro-Wilk test 시행하기
shapiro.test(df$ALT_DIF)

 

결과

	Shapiro-Wilk normality test

data:  df$ALT_DIF
W = 0.99895, p-value = 0.8481

 

N 수는 1000으로 2000 미만이므로 Shapiro-Wilk 통계량을 봐야하고 이 검정의 p-value는 0.05 이상이다. Q-Q plot상에서 대부분의 데이터가 직선상에 있으며, 히스토그램 또한 정규분포를 따르는 것처럼 보이므로 두 변수의 차는 정규분포를 따른다고 할 수 있다. 따라서 대응 표본 T 검정 (Paired samples T test)를 시행할 수 있다.

 

대응 표본  T 검정 코드

t.test(df$ALT, df$ALT_POSTMED, paired=TRUE)

t.test(df$ALT, df$ALT_POSTMED, paired=TRUE) : df 데이터의 ALT와 df데이터의 ALT_POSTMED 변수간의 paired t-test를 시행하라.

 

결과

	Paired t-test

data:  df$ALT and df$ALT_POSTMED
t = 14.333, df = 999, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 2.447950 3.224593
sample estimates:
mean difference 
       2.836272

Paired t-test data:  df$ALT and df$ALT_POSTMED

t = 14.333, df = 999, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0

95 percent confidence interval:  2.447950 3.224593

sample estimates: mean difference         2.836272 

 

ALT의 평균이 ALT_POSTMED의 평균에 비해 2.836272만큼 더 크다. 그리고 그 차이의 p-value는 <2.2e-16로 유의미하다. 따라서 귀무가설을 기각할 수 있다. 본 검정의 귀무가설은 다음과 같다.

 귀무가설:  $H_0$=간 기능 개선제 복용 전 후의 ALT 평균은 동일하다. 

이를 기각하므로 동일하지 않다고 할 수 있고, 간 기능 개선제 복용 후 ALT가 2.8363만큼 낮아져 간 기능에 호전이 있다고 평가할 수 있다.  

 

그런데, 귀무가설은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$$ALT = ALT\_POSTMED$$

$$ \therefore ALT\_DIF=ALT-ALT\_POSTMED=0$$

 

즉, 대응 표본 T 검정을 시행하는 것은 ALT_DIF변수의 평균이 0과 같은지 검정하는 일표본 T검정 (One sample T test)와 같은 것이다. 일표본 T 검정은 다음 링크에서 확인할 수 있다. 2022.11.03 - [모평균 검정/R] - [R] 일표본 T검정 (One-sample T-test) - t.test()

 

일표본 T 검정으로 대응 표본 T 검정 시행하기 - 코드

t.test(df$ALT_DIF, mu=0)

 

결과

	One Sample t-test

data:  df$ALT_DIF
t = 14.333, df = 999, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 2.447950 3.224593
sample estimates:
mean of x 
 2.836272

위와 같은 결과를 내는 것을 알 수 있다.

 

코드 정리

##워킹 디렉토리 지정
setwd("C:/Users/user/Documents/Tistory_blog")

##데이터 불러오기
install.packages("readr")
library("readr")
df<-read_csv("Data.csv")

##ALT 차이 변수 생성
df$ALT_DIF<-df$ALT-df$ALT_POSTMED

##ALT 차이 변수의 정규성 검정
# 1) Q-Q plot 그리기
qqnorm(df$ALT_DIF)
qqline(df$ALT_DIF)

# 2) 히스토그램 그리기
hist(df$ALT_DIF, prob=TRUE)
ALT_DIFrange<-seq(min(df$ALT_DIF),max(df$ALT_DIF),length=max(max(df$ALT_DIF)-min(df$ALT_DIF),100))
ND<-dnorm(ALT_DIFrange,mean=mean(df$ALT_DIF),sd=sd(df$ALT_DIF))
lines(ALT_DIFrange, ND, lwd=2)

# 3) Shapiro-Wilk test 시행하기
shapiro.test(df$ALT_DIF)

##Paired t-test
t.test( df$ALT_POSTMED, df$ALT,paired=TRUE)

##One sample t-test
t.test(df$ALT_DIF, mu=0)

 

[R] 대응 표본 T검정 (Paired samples T-test) 정복 완료!

 

작성일: 2022.11.25.

최종 수정일: 2022.11.29.

이용 프로그램: R 4.2.2

RStudio v2022.07.2

RStudio 2022.07.2+576 "Spotted Wakerobin" Release

운영체제: Windows 10, Mac OS 12.6.1